Question

20．一个正项等比数列{a_n}的前n项和为2，其后2n项的和为12，则再后面3n项的和为（　　）

• A． -378
• B． 62
• C． 72
• D． 112

Answer 1

分析 设等比数列的公比为q，q＞0，由题意可得S_n=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$（1-qⁿ）=2，S_3n-S_n=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$（1-q³ⁿ）-$\frac{{a}_{1}}{1-q}$（1-qⁿ）=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$（qⁿ-q³ⁿ）=12，求出$\frac{{a}_{1}}{1-q}$=-2，qⁿ=2，由此能求出再后面3n项的和．

解答 解：∵一个正项等比数列{a_n}的前n项和为2，其后2n项的和为12，
设等比数列的公比为q，q＞0，
∴由题意可得S_n=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$（1-qⁿ）=2，①
S_3n-S_n=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$（1-q³ⁿ）-$\frac{{a}_{1}}{1-q}$（1-qⁿ）=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$（qⁿ-q³ⁿ）=12，②
由①②解得$\frac{{a}_{1}}{1-q}$=-2，qⁿ=2或$\frac{{a}_{1}}{1-q}$=$\frac{1}{2}$，qⁿ=-3，（舍）
∴再后面3n项的和：
S_6n-S_3n=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$（1-q⁶ⁿ）-$\frac{{a}_{1}}{1-q}$（1-q³ⁿ）=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$（q³ⁿ-q⁶ⁿ）
=-2（8-64）=112．
故选：D．

点评 本题考查等比数列的再后面3n项的和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．