Question

20．设集合A={x₁，x₂，x₃，x₄}，x_i∈{-1，0，1}，i={1，2，3，4}，那么集合A中满足条件“x₁²+x₂²+x₃²+x₄²≤3”的元素个数为（　　）

• A． 60
• B． 65
• C． 80
• D． 81

Answer 1

分析 将x的取值分为两组：M={0}，N={-1，1}，A中的四个元素中有1个取值为0，2个取值为0，个取值为0，4个取值为0，进行分类讨论，由此能求出集合A中满足条件“x₁²+x₂²+x₃²+x₄²≤3”的元素个数．

解答 解：集合A={x₁，x₂，x₃，x₄}，x_i∈{-1，0，1}，i={1，2，3，4}，
集合A满足条件“x₁²+x₂²+x₃²+x₄²≤3”，
设M={0}，N={-1，1}，
①A中的四个元素中有1个取值为0，另外3个从M中取，取法总数有：${C}_{4}^{1}×{2}^{3}$=32，
②A中的四个元素中有2个取值为0，另外2个从M中取，取法总数有：${C}_{4}^{2}×{2}^{2}$=24，
③A中的四个元素中有3个取值为0，另外1个从M中取，取法总数有：${C}_{4}^{3}×2$=8，
④A中的四个元素中有4个取值为0，取法总数有：${C}_{4}^{4}$=1，
∴集合A中满足条件“x₁²+x₂²+x₃²+x₄²≤3”的元素个数为：
32+24+8+1=65．
故选：B．

点评 本题考查满足条件的集合中元素个数的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想，是中档题．