Question

15．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点是原点，以x轴为对称轴，且经过点P（1，2）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）设点A，B在抛物线C上，直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，|PM|=|PN|．求直线AB的斜率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据抛物线C经过点P（1，2），求抛物线C的方程；
（Ⅱ）由题意，直线PA与PB的倾斜角互补，所以k_PA+k_PB=0，求出A，B的坐标，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）依题意，设抛物线C的方程为y²=ax（a≠0）．[（1分）]
由抛物线C经过点P（1，2），
得a=4，[（3分）]
所以抛物线C的方程为y²=4x．[（4分）]
（Ⅱ）因为|PM|=|PN|，
所以∠PMN=∠PNM，
所以∠1=∠2，
所以直线PA与PB的倾斜角互补，
所以k_PA+k_PB=0．[（6分）]
依题意，直线AP的斜率存在，设直线AP的方程为：y-2=k（x-1）（k≠0），
将其代入抛物线C的方程，整理得k²x²-2（k²-2k+2）x+k²-4k+4=0．[（8分）]
设A（x₁，y₁），则x₁=$\frac{{k}^{2}-4k+4}{{k}^{2}}$，y₁=$\frac{4}{k}$-2，[（10分）]
所以A（$\frac{{k}^{2}-4k+4}{{k}^{2}}$，$\frac{4}{k}$-2）．[（11分）]
以-k替换点A坐标中的k，得B（$\frac{（k+2）^{2}}{{k}^{2}}$，-$\frac{4}{k}$-2．[（12分）]
所以 k_AB=$\frac{\frac{4}{k}-（-\frac{4}{k}）}{\frac{（k-2）^{2}}{{k}^{2}}-\frac{（k+2）^{2}}{{k}^{2}}}$=-1，
所以直线AB的斜率为-1．[（14分）]

点评 本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线位置关系的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．