Question

1．已知三棱锥P-ABC，若PA，PB，PC两两垂直，且PA=2，PB=PC=1，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为6π．

Answer 1

分析 以PA，PB，PC分棱构造一个长方体，这个长方体的外接球就是三棱锥P-ABC的外接球，由此能求出三棱锥的外接球的表面积．

解答 解：∵三棱锥P-ABC，若PA，PB，PC两两垂直，且PA=2，PB=PC=1，
∴以PA，PB，PC分棱构造一个长方体，
则这个长方体的外接球就是三棱锥P-ABC的外接球，
∴由题意可知，这个长方体的中心是三棱锥的外接球的心，
三棱锥的外接球的半径为R=$\frac{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}+{1}^{2}}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
所以外接球的表面积为S=4πR²=4$π×（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}$=6π．
故答案为：6π．

点评 本题考查三棱锥的外接球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．