Question

15．已知函数f（x）=2cos$\frac{ωx}{2}$sin（$\frac{ωx}{2}$+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$（ω＞0）的图象相邻两条对称轴的距离为$\frac{π}{2}$
（1）求函数f（x）的解析式及其单调增区间；
（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若f（$\frac{A}{2}$）-cosA=$\frac{1}{2}$，且bc=1，b+c=3，求a的值．

Answer 1

分析 （1）先根据二倍角公式两角和差的正弦公式化简，再很据正弦函数的图象和性质求出单调区间，
（2）先求出A的大小，再根据余弦定理即可求出

解答 解：（1）f（x）=2cos$\frac{ωx}{2}$sin（$\frac{ωx}{2}$+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$sin$\frac{ωx}{2}$cos$\frac{ωx}{2}$+cos²$\frac{ωx}{2}$-$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinωx+$\frac{1}{2}$（1+cosωx）-$\frac{1}{2}$=sin（ωx+$\frac{π}{6}$）
由相邻两条对称轴间的距离为$\frac{π}{2}$，知f（x）的最小正周期T=π，则ω=2
所以$f（x）=sin（2x+\frac{π}{6}）$
令$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$
得f（x）的递增区间为$[kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}]（k∈Z）$
（2）由$f（\frac{A}{2}）-cosA=\frac{1}{2}$得$sin（A+\frac{π}{6}）-cosA=\frac{1}{2}$
得$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinA-\frac{1}{2}cosA=\frac{1}{2}$，$sin（A-\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，
∴$-\frac{π}{6}＜A-\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，
∴$A-\frac{π}{6}=\frac{π}{6}$，即$A=\frac{π}{3}$
又bc=1，b+c=3，
根据余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-3bc=6，
∴$a=\sqrt{6}$

点评 本题考查了二倍角公式两角和差的正弦公式，正弦函数的图象和性质以及余弦定理，属于中档题．