Question

平面内两定点M（0，-2）和N（0，2），动点P（x，y）满足|

PM

|•|

PN

|=m（m≥4），动点P的轨迹为曲线E，给出以下五个命题：
①存在m，使曲线E过坐标原点；
②对于任意m，曲线E与x轴有三个交点；
③曲线E关于y轴对称，但不关于x轴对称；
④若P、M、N三点不共线，则△PMN周长的最小值为2

m

+4；
⑤曲线E上与M、N不共线的任意一点G关于原点对称的点为H，则四边形GMHN的面积不大于m．
其中真命题的序号是

 

（填上所有正确命题的序号）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,轨迹方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用平面内两定点M（0，-2）和N（0，2），动点P（x，y）满足|

PM

|•|

PN

|=m（m≥4），可得

x2+(y+2)2

•

x2+(y-2)2

=m，对选项进行分析，即可得出结论．

解答： 解：∵平面内两定点M（0，-2）和N（0，2），动点P（x，y）满足|

PM

|•|

PN

|=m（m≥4），
∴

x2+(y+2)2

•

x2+(y-2)2

=m
①（0，0）代入，可得m=4，∴①正确；
②令y=0，可得x²+4=m，∴对于任意m，曲线E与x轴有三个交点，不正确；
③曲线E关于x轴对称，但不关于y轴对称，故不正确；
④若P、M、N三点不共线，|

PM

|+|

PN

|≥2

| PM |•| PN |

=2

m

，所以△PMN周长的最小值为2

m

+4，正确；
⑤曲线E上与M、N不共线的任意一点G关于原点对称的点为H，则四边形GMHN的面积为2S_△MNG=|GM||GN|sin∠MGN≤m，∴四边形GMHN的面积最大为不大于m，正确．
故答案为：①④⑤．

点评：本题考查轨迹方程，考查命题的真假判断，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．