Question

设F是椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）的左焦点，直线l方程为x=-

a2

c

（其中a为椭圆的长半轴长，c为半焦距），设直线l与x轴交于P点，MN为椭圆E的长轴，已知|MN|=8，且|PM|=2|MF|．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过点P作直线m与椭圆E交于A，B两点，求证：∠AFM=∠BFN；
（3）在（2）的条件下，求三角形△ABF面积的最大值及此时直线m的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由|MN|=8，知a=4，由|PM|=2|MF|，知e=

1

2

，由此能求出椭圆的标准方程．
（2）当AB的斜率为0时，显然∠AFM=∠BFN=0，满足题意，当AB的斜率不为0时，设AB方程为x=ky-8，代入椭圆方程整理得：（3k²+4）y²-48ky+144=0．△=576（k²-4），y_A+y_B=

48k

3k2+4

，y_Ay_B=-

144

3k2+4

．由此能够证明对于任意的割线PAB，恒有∠AFM=∠BFN．
（3）S△ABF=

72 k2-4

3(k2-4)+16

=

72

3 k2-4 + 16 k2-4

≤

72

2 3•16

=3

3

，当且仅当m=±

2 21

3

取到等号．由此能求出三角形△ABF面积的最大值此时直线m的方程．

解答： 解：（1）∵|MN|=8，
∴a=4，
又∵|PM|=2|MF|，
∴e=

1

2

，
∴c=2，b²=a²-c²=12，
∴椭圆的标准方程为

x2

16

+

y2

12

=1． （3分）
（2）当AB的斜率为0时，显然∠AFM=∠BFN=0，满足题意，
当AB的斜率不为0时，设AB方程为x=ky-8，
代入椭圆方程整理得：（3k²+4）y²-48ky+144=0．
△=576（k²-4），yA+yB=

48k

3k2+4

，y_Ay_B=

144

3k2+4

．
则k_AF+k_BF=

yA

xA+2

+

yB

xB+2

=

yA

kyA-6

+

yB

kyB-6

=

yA(kyB-6)+yB(kyA-6)

(kyA-6)(kyB-6)

=

2kyAyB-6(yA+yB)

(kyA-6)(kyB-6)

，
而2kyAyB-6(yA+yB)=2k•

144

3k2+4

-6（y_A+y_B）=2k•

144

3k2+4

-6•

48k

3k2+4

=0，
∴k_AF+k_BF=0，从而∠AFM=∠BFN．
综合可知：对于任意的割线PAB，恒有∠AFM=∠BFN．（8分）
（3）S_△ABF=S_△PBF-S_△PAF=

1

2

|PF|•|y_B-y_A|=

72 m2-4

3m2+4

，
即：S△ABF=

72 k2-4

3(k2-4)+16

=

72

3 k2-4 + 16 k2-4

≤

72

2 3•16

=3

3

，
当且仅当3

k2-4

=

16

k2-4

，
即k=±

2 21

3

，（此时适合于△＞0的条件）取到等号．
∴三角形△ABF面积的最大值是3

3

．
此时AB方程为x=±

2 21

3

y-8．（13分）

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化，注意函数与方程思想的合理运用．