Question

15．如图是函数f（x）=x²+ax-b的部分图象，函数g（x）=e^x-f′（x）的零点所在的区间是（k，k+1）（k∈Z），则k的值为（　　）

• A． -1或0
• B． 0
• C． -1或1
• D． 0或1

Answer 1

分析 由f（x）=x²+ax-b的图象可得1＜a=1-b＜2，求导f′（x）=2x+a，从而化简g（x）=e^x-f′（x）=e^x-2x-a，求导g′（x）=e^x-2，从而确定g（x）的单调性，再利用零点的判定定理解得．

解答 解：∵f（x）=x²+ax-b的图象过点（-1，0），
∴1-a-b=0；即a=1-b；
∵0＜f（0）＜1，
∴0＜-b＜1，即-1＜b＜0，
∴1＜a=1-b＜2，
而f′（x）=2x+a，
故g（x）=e^x-f′（x）=e^x-2x-a，
∵g′（x）=e^x-2，
∴g（x）在（-∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增；
而g（ln2）=2-2ln2-a＜0，
g（-1）=$\frac{1}{e}$+2-a＞0，g（0）=1-a＜0，
故g（x）在区间（-1，0）上有零点；
g（1）=e-2-a＜0，g（2）=e²-4-a＞0，
故g（x）在区间（1，2）上有零点；
结合所述，k的值为-1或1；
故选C．

点评 本题考查了数形结合的思想应用及导数的综合应用，同时考查了零点的判定定理的基本应用．