题目内容
已知数列{an}中，a1=1，a2=3，an=3an-1-2an-2（n≥3）．
（1）求a3的值；
（2）证明：数列{an-an-1}（n≥2）是等比数列；
（3）求数列{an}的通项公式．
（1）求a3的值；
（2）证明：数列{an-an-1}（n≥2）是等比数列；
（3）求数列{an}的通项公式．
考点：数列递推式,等比关系的确定
专题：综合题,等差数列与等比数列
分析：（1）利用数列{an}中，a1=1，a2=3，an=3an-1-2an-2，）求a3的值；
（2）利用等比数列的定义，构造an-an-1=2（an-1-an-2）行证明．
（3）利用（2）可先求an-an-1=2n-1，利用叠加法可得an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1，从而可求an．
（2）利用等比数列的定义，构造an-an-1=2（an-1-an-2）行证明．
（3）利用（2）可先求an-an-1=2n-1，利用叠加法可得an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1，从而可求an．
解答：
（1）解：∵数列{an}中，a1=1，a2=3，an=3an-1-2an-2，
∴a3=3×3-2×1=7；
（2）证明：∵an=3an-1-2an-2，∴an-an-1=2（an-1-an-2）
∵a1=1，a2=3，∴a2-a1=2≠0
∴{an-an-1}是以2为首项，2为公比的等比数列．
（3）解：由（2）得an-an-1=2n-1，∴an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1，…（7分）
=2n-1+2n-2+…+2+1=2n-1．
∴a3=3×3-2×1=7；
（2）证明：∵an=3an-1-2an-2，∴an-an-1=2（an-1-an-2）
∵a1=1，a2=3，∴a2-a1=2≠0
∴{an-an-1}是以2为首项，2为公比的等比数列．
（3）解：由（2）得an-an-1=2n-1，∴an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1，…（7分）
=2n-1+2n-2+…+2+1=2n-1．
点评：本小题主要考查数列、不等式等基本知识的综合运用，考查化归的数学思想方法在解题中的运用，考查综合解题能力．
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| ||
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|
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