Question

2．如图，以坐标原点O为圆心的单位圆与x轴正半轴相交于点A，点B、P在单位圆上，且B（-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$），∠AOB=α．
（1）求$\frac{5cosα+6sinα}{4cosα-3sinα}$的值；
（2）设∠AOP=θ（$\frac{π}{6}$≤θ≤$\frac{2π}{3}$），$\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OP}$，四边形OAQP的面积为S，f（θ）=（$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OQ}$-$\frac{1}{2}$）²+2S²-$\frac{1}{2}$，求f（θ）的最值及此时θ的值．

Answer 1

分析 （1）依题意，可求得tanα=-2，将$\frac{5cosα+6sinα}{4cosα-3sinα}$中的“弦”化“切”即可求得其值；
（2）利用向量的数量积的坐标运算可求得f（θ）=（cosθ+$\frac{1}{2}$）²+2sin²θ-$\frac{1}{2}$=-（cosθ-$\frac{1}{2}$）²+2，利用-$\frac{1}{2}$≤cosθ≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即可求得f（θ）的最值及此时θ的值．

解答 解：（1）依题意，tanα═-2，
∴$\frac{5cosα+6sinα}{4cosα-3sinα}$=$\frac{5+6tanα}{4-3tanα}$=-$\frac{7}{10}$；
（2）由已知点P的坐标为P（cosθ，sinθ），
又$\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OP}$，|$\overrightarrow{OA}$=||$\overrightarrow{OP}$|，
∴四边形OAQP为菱形，
∴S=2S_△OAP=sinθ，
∵A（1，0），P（cosθ，sinθ），
∴$\overrightarrow{OQ}$=（1+cosθ，sinθ），
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OQ}$=1+cosθ，
∴f（θ）=（cosθ+$\frac{1}{2}$）²+2sin²θ-$\frac{1}{2}$=-（cosθ-$\frac{1}{2}$）²+2
∵-$\frac{1}{2}$≤cosθ≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴当cosθ=$\frac{1}{2}$，即θ=$\frac{π}{3}$时，f（θ）_max=2；
当cosθ=-$\frac{1}{2}$，即θ=$\frac{2π}{3}$时，f（θ）_min=1．

点评 本题考查三角函数的最值，着重考查三角函数中的恒等变换应用及向量的数量积的坐标运算，考查正弦函数的单调性及最值，属于中档题．