Question

已知函数m（x）=x³-

3

x2，h(x)=

3

ax2-3ax
（1）若函数f（x）=m（x）-h（x）在x=1处取得极值，求实数a的值；
（2）若函数f（x）=m（x）-h（x）在（-∞，+∞）不单调，求实数a的取值范围；
（3）判断过点A(1，-

5

2

)可作曲线f（x）=m（x）+

3

x2-3x多少条切线，并说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）求出函数f（x）的导数，由条件得，f′（1）=0求得a，注意检验x=1处导数的符号；
（2）若函数f（x）在R上不单调，则f′（x）=3x²-2

3

（a+1）x+3a=0应有二不等根，则△=12（a+1）²-36a＞0，解出a即可；
（3）求出导数，设出切点，求出切线的斜率，再由两点的斜率公式，得到方程，构造函数g（x₀）=2x₀³-3x₀²+

1

2

，运用导数求出极值，令极大值大于0，极小值小于0，即可判断函数有三个零点，即方程有三个实根，即切线有三条．

解答： 解：（1）∵函数m（x）=x³-

3

x2，h(x)=

3

ax2-3ax，
∴f（x）=m（x）-h（x）=x³-

3

（1+a）x²+3ax，
∴f′（x）=3x²-2

3

（a+1）x+3a，
∵f′（1）=0，∴3+3a-2

3

（a+1）=0∴a=-1，
∴f′（x）=3（x-1）（x+1），显然在x=1附近f′（x）符号不同，
∴x=1是函数f（x）的一个极值点，
∴a=-1即为所求； 
（2）∵m（x）=x³-

3

x2，h(x)=

3

ax2-3ax，
∴∴f（x）=m（x）-h（x）=x³-

3

（1+a）x²+3ax，
若函数f（x）在R上不单调，
则f′（x）=3x²-2

3

（a+1）x+3a=0应有二不等根，
∴△=12（a+1）²-36a＞0∴a²-a+1＞0恒成立，
∴实数a的取值范围为R；
（3）∵m（x）=x³-

3

x²，∴f（x）=m（x）+

3

x²-3x=x³-3x，
∴f'（x）=3（x²-1），设切点M（x₀，y₀），
则M的纵坐标y0=x03-3x0，又f′(x0)=3(x02-1)，
∴切线的斜率为3(x02-1)=

x03-3x0+ 5 2

x0-1

，得2x03-3x02+

1

2

=0，
设g（x₀）=2x03-3x02+

1

2

，∴g'（x₀）=6x02-6x0
由g'（x₀）=0，得x₀=0或x₀=1，
∴g（x₀）在（-∞，0），（1，+∞）上为增函数，在（0，1）上为减函数，
∴函数g（x₀）=2x₀³-3x₀²+m+3的极大值点为x₀=0，极小值点为x₀=1，
∵

g(0)= 1 2 ＞0 g(1)=- 1 2 ＜0

∴函数g（x₀）=2x₀³-3x₀²+

1

2

有三个零点，
∴方程2x₀³-3x₀²+

1

2

=0有三个实根，
∴过点A(1，-

5

2

)可作曲线y=f（x）的三条切线．

点评：本题考查导数的综合应用：求切线方程和求单调区间和求极值，考查函数的零点和方程根的关系，以及运用导数求得极值的符号与零点的关系，考查运算能力，属于中档题．