Question

20．求函数y=-tan³x+4tanx+1，x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]值域．

Answer 1

分析 换元可化已知问题为y=-m³+4m+1在m∈[-1，1]的值域，导数法判单调性可得．

解答 解：∵x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，∴m=tanx∈[-1，1]，
换元可得y=-m³+4m+1，m∈[-1，1]，
求导数可得y′=-3m²+4＞0，
∴关于m的函数y=-m³+4m+1在m∈[-1，1]单调递增，
∴当m=-1时，函数取最小值-2，
当m=1时，函数取最大值4，
∴函数的值域为[-2，4]

点评 本题考查三角函数的最值，换元并用导数法求解函数的最值是解决问题的关键，属中档题．