题目内容

15．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1（-c，0），F2（c，0），点M是椭圆上的任意一点，△MF1F2的周长是2$\sqrt{2}$+2，且△MF1F2面积的最大值是1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若N是椭圆上一点，点M，N不重合，线段MN的垂直平分线的方程是2λx-2y+1=0，求△0MN面积的最大值．

分析 （1）运用椭圆的定义和范围，可得a+c=2+$\sqrt{2}$，bc=1，a2-b2=c2，解方程可得a，b，即可得到椭圆方程；
（2）由两直线垂直的条件可设直线MN的方程为y=-$\frac{1}{λ}$x+t，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，再由中点坐标公式，可得MN的中点，代入垂直平分线方程可得t=-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{λ}^{2}}$，再由点到直线的距离公式，可得O到直线MN的距离，运用三角形的面积公式，化简整理，可得△OMN的最大值．

解答 解：（1）△MF1F2的周长是2$\sqrt{2}$+2，
即为|MF1|+|MF2|+|F1F2|=2a+2c=2$\sqrt{2}$+2，
由△MF1F2面积为$\frac{1}{2}$|yM|•2c=c|yM|≤bc，
即有bc=1，a2-b2=c2，
解得a=$\sqrt{2}$，b=1，
则椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y2=1；
（2）线段MN的垂直平分线的方程是2λx-2y+1=0，
即有直线MN的方程为y=-$\frac{1}{λ}$x+t，
代入椭圆方程可得，（2+λ2）y2-2λ2ty+λ2t2-2=0，
△=4λ4t2-4（2+λ2）（λ2t2-2）＞0，
y1+y2=$\frac{2{λ}^{2}t}{2+{λ}^{2}}$，y1y2=$\frac{{λ}^{2}{t}^{2}-2}{2+{λ}^{2}}$，
MN中点为（$\frac{2tλ}{2+{λ}^{2}}$，$\frac{{λ}^{2}t}{2+{λ}^{2}}$），
代入MN的垂直平分线可得，t=-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{λ}^{2}}$，
即有y1+y2=-1，y1y2=$\frac{{λ}^{2}{t}^{2}-2}{2+{λ}^{2}}$=$\frac{（2-{λ}^{2}）^{2}}{4{λ}^{2}（2+{λ}^{2}）}$，
即有|MN|=$\sqrt{1+{λ}^{2}}$|y1-y2|=$\sqrt{1+{λ}^{2}}$•$\sqrt{1-4•\frac{（2-{λ}^{2}）^{2}}{4{λ}^{2}（2+{λ}^{2}）}}$
=$\sqrt{1+{λ}^{2}}$•$\sqrt{\frac{6{λ}^{2}-4}{{λ}^{2}（2+{λ}^{2}）}}$，
又O到直线MN的距离为d=$\frac{|λt|}{\sqrt{1+{λ}^{2}}}$=$\frac{2+{λ}^{2}}{2|λ|\sqrt{1+{λ}^{2}}}$，
则△0MN面积为S=$\frac{1}{2}$d•|MN|=$\frac{1}{4}$•$\sqrt{\frac{（6{λ}^{2}-4）（2+{λ}^{2}）}{{λ}^{4}}}$
=$\frac{1}{4}$•$\sqrt{6-\frac{8}{{λ}^{4}}+\frac{8}{{λ}^{2}}}$=$\frac{1}{4}$•$\sqrt{8-8（\frac{1}{{λ}^{2}}-\frac{1}{2}）^{2}}$，
当λ=±$\sqrt{2}$，△OMN的面积取得最大值$\frac{\sqrt{2}}{2}$，满足判别式大于0．
故△OMN的面积取得最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的定义和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查化简整理的运算求解能力，属于中档题．

练习册系列答案
相关题目
5．已知函数$f（x）=a（\frac{1}{{{a^x}-1}}+\frac{1}{2}）$，其中a＞1．
（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（2）判断并证明函数f（x）的单调性．
6．已知集合A={-1，1}，B={m|m=x+y，x∈A，y∈A}，则用列举法表示集合B={0}；若集合M={-1，1，3}，N={a+2，a2+4}满足M∩N={3}，则实数a=1．
3．奇数f（x）=lg[（m2-3m+2）x2+2（m-1）x+5]的值域为R，则实数m的取值范围是（　　）
A．[2，$\frac{9}{4}$]B．[2，$\frac{9}{4}$）C．（-∞，1）∪（$\frac{9}{4}$，+∞）D．（-∞，1]∪（$\frac{9}{4}$，+∞）
10．判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{5}{2}$π）；
（2）f（x）=$\sqrt{2sinx-1}$．
20．作短轴长为2b的椭圆的内接矩形，若该矩形面积的最大值的取值范围是[3b2，4b2]，则椭圆离心率的取值范围是（　　）
A．[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）B．[$\frac{\sqrt{5}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]C．（0，$\frac{\sqrt{5}}{3}$]D．（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]
7．三角形ABC中．若sin（A+B-C）=sin（A-B+C），则这个三角形的形状为等腰三角形或直角三角形．
4．已知定点A（3，1），P是椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$上的任一点，F1，F2分别是椭圆的左右焦点，则|PF2|+|PA|的最小值为10-5$\sqrt{2}$．
5．在△ABC中，三内角A，B，C满足2B=A+C，求解：tan$\frac{A}{2}$+tan$\frac{B}{2}$+tan$\frac{C}{2}$+$\sqrt{3}$tan$\frac{A}{2}$tan$\frac{C}{2}$．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网