Question

15．已知f（x）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+2，求：
（1）f（x）的最小正周期及对称轴方程；
（2）f（x）的单调递增区间；
（3）若方程f（x）-m+1=0在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件利用正弦函数的最小正周期、正弦函数的图象的对称性，得出结论．
（2）求出y=sin（2x+$\frac{π}{4}$）的减区间，即为f（x）的单调递增区间，再利用正弦函数的单调性得出结论．
（3）由题意可得函数f（x）的图象和直线y=m-1在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上有交点，根据正弦函数的定义域和值域求出f（x）的值域，可得m的范围．

解答 解：（1）由于f（x）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+2，它的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π，
令2x+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$，k∈Z，故函数f（x）的图象的对称轴方程为x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$，k∈Z．
（2）令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得 kπ+$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{8}$，可得函数f（x）的增区间为[kπ+$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{5π}{8}$]，k∈Z．
（3）若方程f（x）-m+1=0在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上有解，则函数f（x）的图象和直线y=m-1在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上有交点．
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，f（x）∈[2-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{5}{2}$]，
故m-1∈[2-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{5}{2}$]，∴m∈[3-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{7}{2}$]．

点评 本题主要考查正弦函数的最小正周期、正弦函数的图象的对称性、单调性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．