Question

3．已知双曲线E₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）与抛物线E₂：y²=2px的焦点都在直线l₀：2x-y-4=0上，双曲线E₁的渐近线方程为x$±\sqrt{3}$y=0．
（1）求双曲线E₁与抛物线E₂的方程；
（2）若直线l₁经过抛物线E₂的焦点F交抛物线E₁于A，B两点，$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{FB}$，求直线l₁的方程．

Answer 1

分析 （1）确定焦点坐标，可得抛物线的方程，结合双曲线E₁的渐近线方程为x$±\sqrt{3}$y=0，可得双曲线的方程；
（2）设出直线AB的方程，联立直线和抛物线方程，求出A，B的横坐标，由$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{FB}$得到x₁=3x₂+2，代入A，B的坐标得答案．

解答 解：（1）令y=0，可得x=2，∴焦点为（2，0），
∴$\frac{p}{2}$=2，c=2，
∴抛物线E₂的方程为y²=8x，
∵双曲线E₁的渐近线方程为x$±\sqrt{3}$y=0，
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵a²+b²=4，
∴a=$\sqrt{3}$，b=1，
∴求双曲线E₁的方程是$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1；
（2）设AB所在直线方程为y=k（x-2），
联立抛物线方程，得k²x²-（4k²+8）x+4k²=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
解方程得：x₁=$\frac{2{k}^{2}+4+4\sqrt{{k}^{2}+1}}{{k}^{2}}$，x₂=$\frac{2{k}^{2}+4-4\sqrt{{k}^{2}+1}}{{k}^{2}}$．
再由$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{FB}$，得x₁+1=3（x₂+1），即x₁=3x₂+2，
∴$\frac{2{k}^{2}+4+4\sqrt{{k}^{2}+1}}{{k}^{2}}$=3•$\frac{2{k}^{2}+4-4\sqrt{{k}^{2}+1}}{{k}^{2}}$+2，
解得：k=±$\frac{\sqrt{20+8\sqrt{13}}}{3}$．
∴直线L的方程为y=$\frac{\sqrt{20+8\sqrt{13}}}{3}$（x-2）或y=-$\frac{\sqrt{20+8\sqrt{13}}}{3}$（x-2）．

点评 本题考查了双曲线、抛物线的方程与几何性质，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了学生的计算能力，是中档题．