Question

1．已知f（x）=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$，x∈R，若对任意θ∈（0，$\frac{π}{2}$]，都有f（msinθ）+f（1-m）＞0成立，则实数m的取值范围是（-∞，1]．

Answer 1

分析 根据条件判断函数的奇偶性和单调性，利用函数的奇偶性和单调性将不等式进行转化，利用参数分离法进行求解即可．

解答 解：∵f（x）=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$，x∈R，
∴f（-x）=$\frac{{e}^{-x}{-e}^{x}}{2}$=-=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$=-f（x），
则函数f（x）为奇函数，
且函数f（x）在（-∞，+∞）是为增函数，
由f（msinθ）+f（1-m）＞0，
得f（msinθ）＞-f（1-m）=f（m-1），
则msinθ＞m-1，
即（1-sinθ）m＜1，
当θ=$\frac{π}{2}$时，sinθ=1，此时不等式等价为0＜1成立，
当θ∈（0，$\frac{π}{2}$），0＜sinθ＜1，
∴m＜$\frac{1}{1-sinθ}$，
∵0＜sinθ＜1，∴-1＜-sinθ＜0，
0＜1-sinθ＜1，则 $\frac{1}{1-sinθ}$＞1，
则m≤1，
故答案为：（-∞，1]．

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，利用参数分离法结合函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键．