题目内容
11．将函数f（x）=sinx的图象向上平移1个单位得到图象C1，再将C1上所有点的纵坐标伸长到原来的4倍（横坐标不变）得到C2，最后将C2向左平移$\frac{π}{2}$个单位长度得到g（x）的图象．（Ⅰ）求函数g（x）的解析式，并求其值域和单调递减区间；
（Ⅱ）已知关于x的方程3f（x）+g（x）=m+4在[0，π]内有两个不同的解α、β：
①求实数m的取值范围；
②证明：$m=5cos\frac{α-β}{2}$．
分析 （Ⅰ）根据平移规律得到函数g（x）的解析式，结合余弦函数图象来求其值域和单调递减区间；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果和已知条件可以推知3sinx+4cosx=m．
①令F（x）=3sinx+4cosx=5sin（x+φ）（0≤x≤π），结合函数图象解答；
②由α、β是方程3sinx+4cosx=m即5sin（x+φ）=m的不同二根得到：$sin（{α+φ}）=\frac{m}{5}$，$sin（{β+φ}）=\frac{m}{5}$．利用角的等价转换推知：$cos（{α-β}）=-cos2（{β+φ}）=2{sin^2}（{β+φ}）-1=\frac{{2{m^2}}}{25}-1$，
所以利用函数的性质进行证明即可．
解答 解：（Ⅰ）C1：y=sinx+1→C2：y=4sinx+4
∴$g（x）=4sin（{x+\frac{π}{2}}）+4$即g（x）=4cosx+4
∴g（x）的值域是[0，8]，单调递减区间是[2kπ，2kπ+π]（k∈Z）…（4分）
（Ⅱ）由3f（x）+g（x）=m+4得3sinx+4cosx=m
①令F（x）=3sinx+4cosx（0≤x≤π），则F（x）=5sin（x+φ），可取$φ∈（{0，\frac{π}{2}}）$且$sinφ=\frac{4}{5}$，$cosφ=\frac{3}{5}$
从而得到y=F（x）的图象如图所示：
∴m的取值范围是[4，5）；
证明：②由①知：α+β=π-2φ即α=π-2φ-β．
∵α、β是方程3sinx+4cosx=m即5sin（x+φ）=m的不同二根，
∴$sin（{α+φ}）=\frac{m}{5}$，$sin（{β+φ}）=\frac{m}{5}$．
而α-β=（π-2φ-β）-β=π-2（β+φ），
∴$cos（{α-β}）=-cos2（{β+φ}）=2{sin^2}（{β+φ}）-1=\frac{{2{m^2}}}{25}-1$，
∴${m^2}=\frac{25}{2}[{1+cos（{α-β}）}]=25{cos^2}\frac{α-β}{2}$．
∵$-\frac{π}{2}＜\frac{α-β}{2}＜\frac{π}{2}$，
∴$cos\frac{α-β}{2}＞0$．
∵m＞0，
∴$m=5cos\frac{α-β}{2}$．
点评 本小题主要考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、分类与整体思想、化归与转化思想、数形结合思想．
