Question

13．已知非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{b}$|=1，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$的夹角为120°，则|$\overrightarrow{a}$|的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$]
• B． （1，2]
• C． （1，0]
• D． [$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$]

Answer 1

分析 设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$，如图所示：则$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$．由$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$的夹角为120°，可得∠ABC=60°，再利用正弦定理即可得出．

解答 解：设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$，
如图所示：
则$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$．
又∵$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$的夹角为120°，
∴∠ABC=60°
又$|\overrightarrow{b}|$=$|\overrightarrow{AC}|$|=1
由正弦定理可得：$\frac{1}{sin6{0}^{°}}$=$\frac{|\overrightarrow{a}|}{sinC}$，
可得$|\overrightarrow{a}|$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinC≤$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴|$\overrightarrow{a}$|的取值范围是$（0，\frac{2\sqrt{3}}{3}]$．
故选：A．

点评 本题考查了向量的三角形法则、正弦定理、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．