Question

5．如图，△ABC中，BC=6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC=2AE．
（Ⅰ）证明△AEF?～△ACB；   
（Ⅱ）求EF的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由圆内接四边形的性质与相似三角形的判定方法即可证明．
（Ⅱ） 由△AEF～△ACB，可得$\frac{AE}{AC}=\frac{EF}{CB}$，即可得出．

解答 （Ⅰ）证明：由圆内接四边形的性质，
可知∠AEF=∠ACB，∠AFE=∠ABC，
∴△AEF～△ACB．
（Ⅱ）解：由△AEF～△ACB，∴$\frac{AE}{AC}=\frac{EF}{CB}$，
由AC=2AE，BC=6，
∴EF=3．

点评 本题考查了圆内接四边形的性质与相似三角形的判定方法及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．