Question

15．要使函数y=x+$\frac{k}{x}$在x∈[2，+∞）上有最小值2+$\frac{k}{2}$，则k的取值范围是（-∞，4]．

Answer 1

分析 求出函数的导数，判断导函数的符号，讨论k的范围，函数的单调性，利用函数的最小值求解即可．

解答 解：函数y=x+$\frac{k}{x}$，可得y′=1-$\frac{k}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-k}{{x}^{2}}$．
当k≤0时，y′在x∈[2，+∞）上恒为正数，函数y=x+$\frac{k}{x}$在x∈[2，+∞）上是增函数，
x=2时函数取得最小值2+$\frac{k}{2}$，满足题意．
当k＞0时，x²-k=0，解得x=$±\sqrt{k}$，
要使函数y=x+$\frac{k}{x}$在x∈[2，+∞）上s是增函数，函数的最小值2+$\frac{k}{2}$，
可得$\sqrt{k}≤2$，解得0＜k≤4，
综上k∈（-∞，4]．
故答案为：（-∞，4]．

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的最值的求法，函数的单调性的应用，考查计算能力以及转化思想分类讨论思想的应用．