题目内容
15．数列{an}，{bn}，满足bn=an-an-1，n=1，2，3，…，如果a0=0，a1=1且{bn}是公比为2的等比数列，设Sn=a1+a2+…+an，$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{n}{{2}^{n}}$=0，则$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$=（ ）| A． | 0 | B． | 1 | C． | 2 | D． | 4 |
分析 求出数列{bn}的通项，利用叠加法求出数列{an}的通项，进而求和，即可求极限．
解答 解：由题意，{bn}是首项为1，公比为2的等比数列，
∴bn=2n-1．
∵bn=an-an-1，
∴an=（b2+b3+…+bn）+a1=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=2n-1，
∴Sn=a1+a2+…+an=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n=2n+1-n-2，
∴$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{2}^{n+1}-n-2}{{2}^{n}-1}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{2-\frac{n}{{2}^{n}}-\frac{2}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{{2}^{n}}}$=2，
故选：C．
点评 本题考查等比数列的通项与求和，考查极限的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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| A． | m=-1，n=1 | B． | m=1，n=1 | C． | m=1，n=-1 | D． | m=-1，n=-1 |