Question

4．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）＞0，f'（x）为f（x）的导函数，且2f（x）＜xf'（x）＜3f（x）对x∈（0，+∞）恒成立，则$\frac{f（2）}{f（3）}$的取值范围是（$\frac{8}{27}$，$\frac{4}{9}$）．

Answer 1

分析 分别构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$，x∈（0，+∞），h（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$，x∈（0，+∞），利用导数研究其单调性即可得出．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$，x∈（0，+∞），
g′（x）=$\frac{xf′（x）-2f（x）}{{x}^{3}}$，
∵?x∈（0，+∞），2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，
∴f（x）＞0，
0＜$\frac{xf′（x）-2f（x）}{{x}^{3}}$，
∴g′（x）＞0，
∴函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，
∴g（2）＜g（3），即$\frac{f（2）}{4}$＜$\frac{f（3）}{9}$，
∴$\frac{f（2）}{f（3）}$＜$\frac{4}{9}$①，
令h（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$，x∈（0，+∞），
h′（x）=$\frac{xf′（x）-3f（x）}{{x}^{4}}$，
∵?x∈（0，+∞），2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，
∴h′（x）=$\frac{xf′（x）-3f（x）}{{x}^{4}}$＜0，
∴函数h（x）在x∈（0，+∞）上单调递减，
∴h（2）＞g（3），即$\frac{f（2）}{8}$＞$\frac{f（3）}{27}$，
∴$\frac{f（2）}{f（3）}$＞$\frac{8}{27}$②，
∴综合①②：$\frac{8}{27}＜\frac{f（2）}{f（3）}＜\frac{4}{9}$，
故答案为：（$\frac{8}{27}$，$\frac{4}{9}$）．

点评 本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、构造函数法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．