Question

5．已知椭圆的一个顶点为A（0，-1），焦点在x轴上．若右焦点到直线l：x-y+2$\sqrt{2}$=0的距离为3．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线l：y=x+m，是否在实数m，使直线l与（1）中的椭圆有两个不同的交点，使|AM|=|AN|，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），由题意可得b=1，运用点到直线的距离公式，求得c，再由a，b，c的关系，可得a，进而得到椭圆方程；
（2）设椭圆与直线y=x+m相交于不同的两点M、N，中点为P，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理以及判别式求出m的范围，通过中点坐标，以及|AM|=|AN|，求出m的值，判断即可．

解答 解：（1）设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由题意可得b=1，右焦点为（c，0），
由$\frac{|c+2\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=3，可得c=$\sqrt{2}$，
a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1；
（2）设P为弦MN的中点．联立直线l：y=x+m与椭圆得4x²+6mx+3m²-3=0，
由于直线与椭圆有两个交点，∴△=36m²-16（3m²-3）＞0，
解得：-2＜m＜2．
由韦达定理可知：P（-$\frac{3m}{4}$，$\frac{m}{4}$）．
∴k_AP=$\frac{\frac{m}{4}+1}{-\frac{3m}{4}}$，
又|AM|=|AN|，
∴AP⊥MN，则$\frac{\frac{m}{4}+1}{-\frac{3m}{4}}$=-1，即m=2，
∵-2＜m＜2．
∴不存在实数m使|AM|=|AN|．

点评 本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，存在性问题的解题策略，注意m的范围是易错点．