题目内容
20．已知正项数列{an}的前n项和Sn满足：4Sn=（an-1）（an+3），（n∈N*）（1）求an；
（2）若bn=2n•an，求数列{bn}的前n项和Tn．
分析 （1）分类讨论，可判断出数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列，从而求an；
（2）化简bn=2n•an=（2n+1）2n，从而利用错位相减法求数列的前n项和，从而解得．
解答 解：（1）当n=1时，
4a1=（a1-1）（a1+3），
解得，a1=3或a1=-1（舍去）；
当n≥2时，4Sn=（an-1）（an+3），
4Sn+1=（an+1-1）（an+1+3），
两式作差可得，
4an+1=（an+1-1）（an+1+3）-（an-1）（an+3），
即（an+an+1）（an+1-an-2）=0，
故an+1=an+2，
故数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列，
故an=2n+1；
（2）故bn=2n•an=（2n+1）2n，
故Tn=3×2+5×22+7×23+…+（2n+1）2n，
2Tn=3×22+5×23+7×24+…+（2n+1）2n+1，
故Tn=-6-2×22-2×23-2×24-…-2n+1+（2n+1）2n+1，
=（2n+1）2n+1-（2+4+8+16+…+2n+1）
=（2n+1）2n+1-$\frac{2（1-{2}^{n+1}）}{1-2}$
=（n-1）2n+2+2n+1+2．
点评 本题考查了学生的化简运算能力及错位相减法的应用，同时考查了转化思想的应用．
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