Question

16．已知定义域为R的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=x²-3．
（1）当x＜0时，求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在R上的解析式；
（3）解方程f（x）=2x．

Answer 1

分析 （1）当x＜0时，-x＞0，根据函数的奇偶性，结合当x＞0时，f（x）=x²-3，可求出x＜0时函数的表达式；
（2）f（0）=0，可得函数f（x）在R上的解析式；
（3）分类讨论解方程f（x）=2x．

解答 解：（1）当x＜0时，-x＞0，
∵当x＞0时，f（x）=x²-3，
∴f（-x）=（-x）²-3=x²-3，
∵f（x）是定义域为R的奇函数，
∴f（-x）=-f（x）
即f（x）=-f（-x）=-x²+3（x＜0）；
（2）f（0）=0，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-3，x＞0}\\{0，x=0}\\{-{x}^{2}+3，x＜0}\end{array}\right.$；
（3）x＞0，x²-3=2x，可得x=1，
x=0，满足题意；
x＜0，-x²+3=2x，可得x=-3，
∴方程f（x）=2x的解为1，0或-3．

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用，以及方程根，考查函数解析式的确定，属于中档题．