Question

6．已知函数y=f（x）满足对任意实数x，y有f（x+y）=f（x）•f（y），且当x＞0，0＜f（x）＜1．
（1）求f（0）的值；
（2）求证：x＜0，f（x）＞1；
（3）讨论函数y=f（x）的单调性；
（4）解不等式f（x²+x）＜f（3-x）．

Answer 1

分析 （1）令y=0，可求f（0）的值；
（2）证明0＜f（-x）＜1，f（-x）=$\frac{1}{f（x）}$，即可证明结论；
（3）利用函数单调性定义，结合条件f（x+y）=f（x）•f（y），将定义中的x₂化成x₁+（x₂-x₁）的形式，判断并证明函数的单调性；
（4）利用函数f（x）定义域R上单调递减，得到x²+2x-3＞0，即可解出本题结论．

解答 解：（1）令y=0，可得f（x+0）=f（x）•f（0），∴f（0）=1；
（2）设x＜0，则-x＞0，
∵当x＞0，0＜f（x）＜1，
∴0＜f（-x）＜1，
∵f（x-x）=f（x）f（-x）=1，
∴f（-x）=$\frac{1}{f（x）}$，
∴0＜$\frac{1}{f（x）}$＜1，
∴f（x）＞1；
（3）在函数f（x）定义域R上任取自变量x₁，x₂且x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0．
∵f（x+y）=f（x）•f（y），
∴f（x₂）-f（x₁）=f[x₁+（x₂-x₁）]-f（x₁）=f（x₁）f（x₂-x₁）]-f（x₁）=f（x₁）[f（x₂-x₁）-1]．
∵当x＞0时，有0＜f（x）＜1，
∴f（x₂-x₁）＜1．
∴函数f（x）定义域R上单调递减．
（4）∵f（x²+x）＜f（3-x），
∴x²+x＞3-x．
∴x²+2x-3＞0，
∴x＜-3或x＞1，
∴不等式的解集为：（-∞，-3）∪（1，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性定义和应用，考查解不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．