Question

3．一块长为a、宽为$\frac{a}{2}$的长方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒．
（Ⅰ）试把方盒的容积V表示为x的函数；
（Ⅱ）试求方盒容积V的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分别求出方盒的长、宽、高，求出方盒的体积即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）依题意，折成无盖方盒的长为a-2x、宽为$\frac{a}{2}-2x$、高为x，
故体积$y=V（x）=（a-2x）（\frac{a}{2}-2x）x=4{x^3}-3a{x^2}+\frac{a^2}{2}x，（0＜x＜\frac{a}{4}）$，其中常数a＞0；（5分）
（Ⅱ）由$y'=12{x^2}-6ax+\frac{a^2}{2}=0$（6分）得$x=\frac{{3±\sqrt{3}}}{12}a$，（7分）
在定义域内列极值分布表（10分）

x	（0，$\frac{{3-\sqrt{3}}}{12}a$）	$\frac{{3-\sqrt{3}}}{12}a$	$（\frac{{3-\sqrt{3}}}{12}a，\frac{a}{4}）$
f’（x）	+	0	-
f（x）	单调增	极大值	单调减

∴$V{（x）_{max}}=f（\frac{{3-\sqrt{3}}}{12}a）=\frac{{\sqrt{3}}}{72}{a^3}$．（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．