Question

如图，已知⊙O的直径AB=3，点C为⊙O上异于A、B的一点，VC⊥平面ABC，且VC=2，点M为线段VB的中点．（Ⅰ）求证：BC⊥平面VAC
（Ⅱ）若AC=1，求直线AM与平面VAC所成角的大小．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间向量及应用

分析：（Ⅰ）由线面垂直得VC⊥BC，由直径性质得AC⊥BC，由此能证明BC⊥平面VAC．
（Ⅱ）分别以AC，BC，VC所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AM与平面VAC所成角为θ．

解答： 证明：（Ⅰ）∵VC⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴VC⊥BC，
∵点C为⊙O上一点，且AB为直径，
∴AC⊥BC，
又∵VC，AC?平面VAC，VC∩AC=C，
∴BC⊥平面VAC．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得BC⊥VC，VC⊥AC，AC⊥BC，分别以AC，BC，VC所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），V（0，0，2），B（0，2

2

，0），

VA

=（1，0，-2），

AB

=（-1，2

2

，0），M（0，

2

，1），

AM

=（-1，

2

，1），
平面VAC的法向量

m

=

CB

=（0，2

2

，0），
设直线AM与平面VAC所成角为θ，则
cos（

π

2

-θ）=cos＜

AM

，

m

＞=

4

2×2 2

=

2

2

，
故可求得：θ=

π

4

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，考查了转化思想，属于中档题．