Question

13．过抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F，且斜率为$\frac{3}{4}$的直线交抛物线C与A，B两点，若$\overrightarrow{AF}$=λ$\overrightarrow{FB}$（0＜λ＜1），λ=（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{1}{6}$
• D． $\frac{1}{9}$

Answer 1

分析 设出点A、B的坐标，求出直线AB的方程．将直线AB方程与抛物线方程联立消去y得到关于x的一元二次方程，求出两根，根据抛物线的定义和向量的线性关系式加以计算，可得答案．

解答 解：抛物线y²=2px的焦点F坐标为（$\frac{p}{2}$，0），可得得直线AB的方程为y=$\frac{3}{4}$（x-$\frac{p}{2}$），
设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），（x₁＜x₂）
直线AB方程与抛物线的方程联解消去y，可得9x²-41px+$\frac{9}{4}$p²=0
解之得：x₁=$\frac{1}{18}$p，x₂=$\frac{9}{2}$p，
由抛物线的定义，可得|$\overrightarrow{AF}$|=x₁+$\frac{p}{2}$=$\frac{5}{9}$p，|$\overrightarrow{FB}$|=x₂+$\frac{p}{2}$=5p，
∵$\overrightarrow{AF}$=λ$\overrightarrow{FB}$，∴λ=$\frac{1}{9}$．
故选：D．

点评 本题给出抛物线的焦点弦斜率为1，求焦点分焦点弦所得的比值．考查直线与抛物线的位置关系、抛物线定义和向量的共线等知识，属于中档题．