Question

)设为奇函数，为常数．
(1)求的值；
(2)判断在区间（1，＋∞）内的单调性，并证明你的判断正确；
(3)若对于区间 [3,4]上的每一个的值，不等式>恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）（2）在（1，+∞）上是增函数（3）

试题分析：解：（1）∵为奇函数，
∴对于定义域中任意实数恒成立，
即    2分
∴ ∴ ∴
∴对于定义域中任意实数恒成立
∵不恒为0，∴ ∴   4分
当时不符题意
∴   5分
（2）由（1）得
设1＜x₁＜x₂，则
f（x₁）－f（x₂）＝log－log＝log
＝log  7分
∵  1＜x₁＜x₂，∴  x₂－x₁＞0，
∴ （x₁x₂－1）＋（x₂－x₁）＞（x₁x₂－1）－（x₂－x₁）>0
即>1．   9分
∴ f（x₁）－f（x₂）<0即f（x₁）＜f（x₂），在（1，+∞）上是增函数  10分
（3）由(1),不等式>可化为，即
由题意得对于区间[3,4]上的每一个的值，恒成立  2分
令，则区间[3,4]上为增函数
∵   ∴  15分
点评：解决的关键是对于函数奇偶性和单调性的灵活运用，以及利用分离参数的思想求解函数的最值得到范围。属于中档题。