题目内容
9．某次数学测验后，数学老师统计了本班学生对选做题的选做情况，得到如表数据：（单位：人）| 坐标系与参数方程 | 不等式选讲 | 合计 | |
| 男同学 | 22 | 8 | 30 |
| 女同学 | 8 | 12 | 20 |
| 合计 | 30 | 20 | 50 |
（II）经过多次测试后，甲同学发现自己解答一道“坐标系与参数方程”所用的时间为区间[5，7]内一个随机值（单位：分钟），解答一道“不等式选讲”所用的时间为区间[6，8]内一个随机值（单位：分钟），试求甲在考试中选做“坐标系与参数方程”比选做“不等式选讲”所用时间更长的概率．
附表及公式：${K^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$
| P（K2≥k） | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
分析 （I）根据所给数据，完成题中的2×2列联表；求出K2，即可得出结论；
（II）以面积为测度，即可求甲在考试中选做“坐标系与参数方程”比选做“不等式选讲”所用时间更长的概率．
解答 解：（I）2×2列联表如下
| 坐标系与参数方程 | 不等式选讲 | 合计 | |
| 男同学 | 22 | 8 | 30 |
| 女同学 | 8 | 12 | 20 |
| 合计 | 30 | 20 | 50 |
由表中数据得${K^2}=\frac{{50×{{（{22×12-8×8}）}^2}}}{30×20×30×20}=\frac{50}{9}≈5.556＞5.024$，
查表可知，有超过97.5%的把握认为选做“坐标系与参数方程”或“不等式选讲”与性别有关；（ ）6分）
（II）设甲解答一道“坐标系与参数方程”需要x分钟，
解答一道“不等式选讲”需要y分钟，-------------------------------------------------------------（7分）
记“甲在考试中选做‘坐标系与参数方程’比选做‘不等式选讲’所用时间更长”为事件A，
则总的基本事件构成区域$\left\{{\left.{（{x，y}）}\right|\left\{{\begin{array}{l}{5≤x≤7}\\{6≤y≤8}\end{array}}\right.}\right\}$，--------------------------------------------------（9分）
而满足事件A的基本事件构成区域为{（x，y）|x＞y，5≤x≤7，6≤y≤8}，----------（10分）
即图中阴影部分，由几何概型知$P（A）=\frac{{\frac{1}{2}×1×1}}{2×2}=\frac{1}{8}$，
即甲在考试中选做“坐标系与参数方程”比选做“不等式选讲”所用时间更长的概率为$\frac{1}{8}$．…（12分）
点评 本题考查独立性检验知识的运用，考查几何概型，考查学生的计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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