Question

12．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=a|x-2|-a，其中a＞0为常数，若函数y=f[f（x）]有10个零点，则a的取值范围是（1，3）．

Answer 1

分析 根据条件作出函数f（x）的图象，利用换元法转化为t=f（x）的方程根的个数问题，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：由已知可得：当a＞0时，f（x）=a|x-2|-a=a（|x-2|-1）的图象如下图所示：
若f（x）=0，则（|x-2|-1=0，即|x-2|=1，则x=1或x=3，
∵函数f（x）是偶函数，∴x=-1，或x=-3也是函数的零点，
即函数f（x）的零点为x=±1，或x=±3，
设t=f（x），
则当t＞a时，方程f（x）=t有2个交点，
当t=a时，方程f（x）=t有3个交点，
当-a＜t＜a时，方程f（x）=t有4个交点，
当t=-a时，方程f（x）=t有2个交点，
当t＜-a时，方程f（x）=t有0个交点，
由y=f[f（x）]=0，得f（t）=0，
则t=±1，或t=±3，
若y=f[f（x）]有10个零点，则等价为f（x）=t分别有4，4，2，0个交点，
由对称性可知当t=1或t=-1时，各有4个交点，当t=3时有2个交点，当t=-3有0个交点，
即1＜a＜3，
故实数a的取值范围为：（1，3），
故答案为：（1，3）

点评 本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的零点，分类讨论思想，数形结合思想，综合性强，分类复杂，属于难题．