Question

4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos²B+cosB=1-cosAcosC
（1）求证：a，b，c成等比数列；
（2）若b=2，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理，结合等差数列和等比数列的定义即可得到结论．
（2）由b=2，可得ac=b² =4，利用余弦定理求得cosB的最小值，可得B的最大值．由△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$ac•sinB=2sinB，可得它的最大值．

解答 解：（1）△ABC中，∵cos²B+cosB=1-cosAcosC，即 $\frac{1+cos2B}{2}$-cos（A+C）=1-cosAcosC，
即1+cos2B-2cos（A+C）=2-2cosAcosC，即cos2B=1-2sinAsinC=1+cos（A+C）-cos（A-C），
∴cos2B-cos（A+C）+cos（A-C）=1，
即1-2sin²B-cosAcosC+sinAsinC+cosAcosC+sinAsinC=1，
即sinAsinC=sin²B，由正弦定理得ac=b²，（a，b，c＞0），
则a，b，c三边成等比数列．
（2）若b=2，则ac=b² =4，利用余弦定理可得b²=4=a²+c²-2ac•cosB≥2ac-2ac•cosB=8-8cosB，
∴cosB≥$\frac{1}{2}$，∴B≤$\frac{π}{3}$，∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$ac•sinB=2sinB≤2•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
故△ABC的面积的最大值为$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查等差数列的判断以及正弦定理、余弦定理、基本不等式的应用，要求熟练掌握相应的公式，属于中档题．