Question

20．判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）=$\sqrt{{x}^{2}-1}$+$\sqrt{1-{x}^{2}}$
（2）f（x）=|x+1|-|x-1|
（3）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+x（x＞0）}\\{{x}^{2}+x（x≤0）}\end{array}\right.$
（4）f（x）=x²lg（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的定义进行判断即可．

解答 解：（1）要使函数有意义，则$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-1≥0}\\{1-{x}^{2}≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x^2≥1}\\{x^2≤1}\end{array}\right.$
解得x²=1，即x=±1，定义域关于原点对称，
则f（-x）=$\sqrt{{x^2}-1}$+$\sqrt{1-{x^2}}$=f（x）．且f（1）=f（-1）=0，
故函数f（x）是既是奇函数也是偶函数．
（2）f（-x）=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-f（x），
则f（x）是奇函数；
（3）若x＞0，则-x＜0，则f（-x）=x²-x=-（x²+x）=-f（x），
若x＜0，则-x＞0，则f（-x）=-x²-x=-（x²+x）=-f（x），
综上f（-x）=-f（x），则f（x）是奇函数；
（4）f（-x）=x²lg（-x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）=x²lg$\frac{（\sqrt{{x}^{2}+1}-x）（\sqrt{{x}^{2}+1}+x）}{\sqrt{{x}^{2}+1}+x}$=x²lg$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}+x}$=-x²lg（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）=-f（x），
则f（x）是奇函数．

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用，利用函数奇偶性的定义是解决本题的关键．