Question

5．设函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）其图象上最高点M的坐标是（2，$\sqrt{2}$），曲线上点P由点M运动到相邻的最低点N时，在点Q（6，0）处越过x轴．
（1）求A，ω，φ的值；
（2）函数f（x）的图象能否通过平移变换得到一个奇函数的图象？若能，写出变换方法；若不能，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据函数的最高点的坐标以及函数对称中心，建立方程关系即可求A，ω，φ的值；
（2）利用函数平移关系以及函数奇偶性的性质进行判断即可．

解答 解：（1）∵图象上最高点M的坐标是（2，$\sqrt{2}$），
∴A=$\sqrt{2}$，
∵曲线上点P由点M运动到相邻的最低点N时，在点Q（6，0）处越过x轴，
∴Q（6，0）是一个对称中心，
则$\frac{T}{4}$=6-2=4，即函数的周期T=4×4=16，
∵T=$\frac{2π}{ω}$=16，
∴ω=$\frac{π}{8}$．
即函数y=$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{8}$x+φ），
∵当x=2时，y=$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{8}$×2+φ）=$\sqrt{2}$，
即sin（$\frac{π}{4}$+φ）=1，
即$\frac{π}{4}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，即φ=kπ+$\frac{π}{4}$，
∵|φ|＜π，
∴当k=0时，φ=$\frac{π}{4}$，
即函数求A=$\sqrt{2}$，ω=$\frac{π}{8}$，φ=$\frac{π}{4}$；
（2）∵A=$\sqrt{2}$，ω=$\frac{π}{8}$，φ=$\frac{π}{4}$；
∴函数y=$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{8}$x+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin[$\frac{π}{8}$（x+2）]，
将函数向右平移2个单位得到y=$\sqrt{2}$sin[$\frac{π}{8}$（x-2+2）]=$\sqrt{2}$sin$\frac{π}{8}$x为奇函数，满足条件，
即函数f（x）的图象可以通过平移变换得到一个奇函数的图象．

点评 本题主要考查三角函数解析式的确定以及三角函数性质的考查，根据条件确定A，ω和φ的值是解决本题的关键．