Question

17．如图，在四棱锥S-ABCD中，已知底面ABCD为直角梯形，其中AD∥BC，∠BAD=90°，SA⊥底面ABCD，$SA=AB=BC=2，tan∠SDA=\frac{2}{3}$．
（1）求四棱锥S-ABCD的体积；
（2）在棱SD上找一点E，使CE∥平面SAB，并证明．

Answer 1

分析 （1）根据tan∠SDA计算AD，得出棱锥的底面直角梯形的面积，代入棱锥的体积公式计算；
（2）在SD上取靠近SD的三等分点E，在SA上取靠近A的三等分点F，连结EF，由相似三角形得出EF=2，EF∥AD，故而四边形BCEF是平行四边形，于是CE∥BF，得出CE∥平面SAB．

解答 解：（1）∵SA⊥底面ABCD，AD?平面ABCD，
∴SA⊥AD．
∵tan∠SDA=$\frac{SA}{AD}$=$\frac{2}{3}$，SA=2，∴AD=3
∴S_梯形ABCD=$\frac{1}{2}$（BC+AD）×AB=5．
∴V_S-ABCD=$\frac{1}{3}$S_梯形ABCD×SA=$\frac{1}{3}$×5×2=$\frac{10}{3}$．
（2）当点E位于棱SD上靠近D的三等分点处时，可使CE∥平面SAB．
取SD上靠近D的三等分点为E，取SA上靠近点A的三等分点为F，连接CE，EF，BF，
则△SFE∽△SAB，∴$\frac{EF}{AD}=\frac{SF}{SA}=\frac{2}{3}$，
∴EF∥AD，EF=2，
又∵BC∥AD，BC=2，
∴BC∥EF，BC=EF．
∴四边形BCEF是平行四边形．
∴CE∥BF．又∵BF?平面SAB，CE?平面SAB，
∴CE∥平面SAB．

点评 本题考查了线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．