Question

9．设定值a∈（0，1），试求函数y=$\frac{a（cosx+a）}{2acosx+{a}^{2}+1}$的最大值与最小值．

Answer 1

分析 分类常数化简可得y=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{{a}^{2}-1}{2acosx+{a}^{2}+1}$），易得a²-1＜0，由函数的单调性可得．

解答 解：化简可得y=$\frac{a（cosx+a）}{2acosx+{a}^{2}+1}$
=$\frac{acosx+{a}^{2}}{2acosx+{a}^{2}+1}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{2acosx+{a}^{2}+1+{a}^{2}-1}{2acosx+{a}^{2}+1}$
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{{a}^{2}-1}{2acosx+{a}^{2}+1}$），
∵a∈（0，1），∴a²-1＜0，
当cosx=-1时，函数取最大值$\frac{a}{a-1}$；
当cosx=1时，函数取最小值$\frac{a}{a+1}$．

点评 本题考查三角函数的最值，整体分类常数是解决问题的关键，属中档题．