题目内容

6.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}是等比数列,且满足a1=3,b1=1,b2+S2=10,a5-2b2=a3.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)令cn=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{{S}_{n}},n为奇数}\\{{a}_{n}{b}_{n},n为偶数}\end{array}\right.$,设数列{cn}的前n项和为Tn,求T2n.

分析 (1)设等差数列{an}的公差为d,{bn}是等比数列,设公比为q,运用等差数列和等比数列的通项公式,解方程可得首项和公差,进而得到所求的通项公式;
(2)求得cn,再由数列的求和方法:裂项相消求和和错位相减法,即可得到所求和.

解答 解:(1)设等差数列{an}的公差为d,{bn}是等比数列,设公比为q,
由题意可得q+6+d=10,3+4d-2q=3+2d,
解得d=q=2,
则数列{an}的通项为an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1;
和{bn}的通项为bn=b1qn-1=2n-1;
(2)cn=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{{S}_{n}},n为奇数}\\{{a}_{n}{b}_{n},n为偶数}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{n(n+2)},n为奇数}\\{(2n+1)•{2}^{n-1},n为偶数}\end{array}\right.$,
则T2n=[$\frac{2}{1×3}$+$\frac{2}{3×5}$+…+$\frac{2}{(2n-1)(2n+1)}$]+[5•2+9•23+…+(4n+1)•22n-1],
由S=$\frac{2}{1×3}$+$\frac{2}{3×5}$+…+$\frac{2}{(2n-1)(2n+1)}$=1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$
=1-$\frac{1}{2n+1}$=$\frac{2n}{2n+1}$;
由T=5•2+9•23+…+(4n+1)•22n-1,
4T=5•8+9•25+…+(4n+1)•22n+1,
两式相减可得-3T=10+4(8+32+…+22n-1)-(4n+1)•22n+1
=10+4•$\frac{8(1-{4}^{n-1})}{1-4}$-(4n+1)•22n+1,
化简可得,T=$\frac{2-(1-12n)•{2}^{2n+1}}{9}$.
则有T2n=$\frac{2n}{2n+1}$+$\frac{2-(1-12n)•{2}^{2n+1}}{9}$.

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用,考查数列的求和方法:裂项相消求和错位相减法,考查运算能力,属于中档题.

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