Question

1．已知抛物线Γ：x²=8y的焦点为F，直线l与抛物线Γ在第一象限相切于点P，并且与直线y=-2及x轴分别交于A、B两点，直线PF与抛物线Γ的另一交点为Q，过点B作BC∥AF交PF于点C，若|PC|=|QF|，则|PF|=（　　）

• A． $\sqrt{5}$-1
• B． 2$+\sqrt{5}$
• C． 3$+\sqrt{5}$
• D． 5$+\sqrt{5}$

Answer 1

分析 设P（m，$\frac{1}{8}$m²），分别过B、P作直线y=-2的垂线，垂足为D、E，由已知条件推导出|FC|=|BD|=2，设直线PQ的方程为y=kx+2，代入C：x²=8y得x²-8kx-16=00，由此能求出|PF|．

解答 解：设P（m，$\frac{1}{8}$m²），分别过B、P作直线y=-2的垂线，垂足为D、E，
∵BC∥AF，∴$\frac{|FC|}{|FP|}$=$\frac{|AB|}{|AP|}$=$\frac{|BD|}{|PE|}$，
∵|FP|=|PE|，∴|FC|=|BD|=2，
设直线PQ的方程为y=kx+2，代入C：x²=8y得x²-8kx-16=0，
∴m•x_Q=-16，∴x_Q=-$\frac{16}{m}$，∴y_Q=$\frac{32}{{m}^{2}}$，
∵|PF|=$\frac{1}{8}$m²+2，∴|PC|=$\frac{1}{8}$m²，
∵|QF|=$\frac{32}{{m}^{2}}$+2，|PC|=|QF|，
∴得$\frac{1}{8}$m²=$\frac{32}{{m}^{2}}$+2，
∴m⁴-16m²-256=0，解得m²=8+8$\sqrt{5}$
∴|PF|=$\frac{1}{8}$m²+2=3+$\sqrt{5}$．
故选：C．

点评 本题考查考查线段长的求法，考查函数与方程思想、等价转化思想的合理运用，属于中档题．