Question

9．△ABC的外接圆圆心为O，半径为2，$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow 0$，则$\overrightarrow{CB}$在$\overrightarrow{CA}$方向上的投影为3．

Answer 1

分析 以O为原点建立平面直角坐标系，设A（2，0），根据条件作出图形，找到B，C的位置，求出BC，AC的长度及夹角．

解答 解：以O为原点建立平面直角坐标系，设A（2，0），
∵$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow 0$，∴AO是以AB，AC为邻边的平行四边形的对角线，
∵OB=OC，∴四边形ABOC是菱形，△AOC是等边三角形，∴B（1，$\sqrt{3}$），C（1，-$\sqrt{3}$）．
∴BC=2$\sqrt{3}$，∠BCA=$\frac{1}{2}∠$ACO=30°．∴BC×cos∠BCA=2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3．
故答案为：3．

点评 本题考查了平面向量在几何中的应用，根据条件作出恰当的图形是关键．