Question

已知函数f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx（x∈R）．x∈[0，

π

2

]，f（x）的值域

 

．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,二倍角的余弦

专题：三角函数的求值

分析：函数可化简为f（x）=1+2sin（2x+

π

6

），因为x∈[0，

π

2

]，故2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，从而可得f（x）=1+2sin（2x+

π

6

）∈[0，3]．

解答： 解：f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx
=1+cos2x+

3

sin2x
=1+2sin（2x+

π

6

）
x∈[0，

π

2

]，故2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，从而可得sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，即有f（x）=1+2sin（2x+

π

6

）∈[0，3]
故答案为：[0，3]．

点评：本题主要考察了两角和与差的正弦函数公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．