Question

设函数f（x）=cos（2x+

2π

3

）+2cos²x．
（1）求f（x）的最大值，并写出使f（x）取最大值时x的集合；
（2）已知△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c．若f（B+C）=

3

2

，b+c=4，求a的最小值．

Answer 1

考点：余弦定理,两角和与差的正弦函数,二倍角的余弦,三角函数的最值

专题：解三角形

分析：（1）f（x）解析式利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理为一个角的正弦函数，利用正弦函数的值域确定出最大值，以及此时x的集合即可；
（2）由Af（B+C）的值，确定出B+C的度数，即为A的度数，再由b+c的值，利用余弦定理及基本不等式求出a的最小值即可．

解答： 解：（1）f（x）=cos2xcos

2π

3

-sin2xsin

2π

3

+cos2x+1=-

1

2

cos2x-

3

2

sin2x+cos2x+1=

1

2

cos2x-

3

2

sin2x+1=sin（2x+

5π

6

）+1，
当2x+

5π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z，即x={x|x=kπ-

π

6

，k∈Z}时，sin（2x+

5π

6

）=1，
则f（x）取得最大值为2；
（2）由f（B+C）=sin[2（B+C）+

5π

6

]+1=sin（-2A+

5π

6

）+1=

3

2

，得到sin（-2A+

5π

6

）=

1

2

，
∴-2A+

5π

6

=

π

6

，即A=

π

3

，
∵cosA=

1

2

，b+c=4，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=16-3bc≥16-

3(b+c)2

4

=4，
即a≥2，
∴a的最小值为2．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的余弦函数公式，以及三角函数的最值，熟练掌握公式是解本题的关键．