Question

16．已知函数$f（x）=|{2-\frac{1}{x}}|（x＞0）$．
（1）当0＜a＜b且f（a）=f（b）时，①求$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的值；②求$\frac{1}{a^2}+\frac{2}{b^2}$的取值范围；
（2）已知函数g（x）的定义域为D，若存在区间[m，n]⊆D，当x∈[m，n]时，g（x）的值域为[m，n]，则称函数g（x）是D上的“保域函数”，区间[m，n]叫做“等域区间”．试判断函数f（x）是否为（0，+∞）上的“保域函数”？若是，求出它的“等域区间”；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）①f（x）在$（0，\frac{1}{2}）$上为减函数，在$（\frac{1}{2}，+∞）$上为增函数，当0＜a＜b且f（a）=f（b）时，$0＜a＜\frac{1}{2}＜b$，且$\frac{1}{a}-2=2-\frac{1}{b}$，即可求$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的值；②由①知$\frac{1}{a}=4-\frac{1}{b}$，代入，利用配方法求$\frac{1}{a^2}+\frac{2}{b^2}$的取值范围；
（2）假设存在[m，n]⊆（0，+∞），当x∈[m，n]时，f（x）的值域为[m，n]，则m＞0.$f（\frac{1}{2}）=0$，可得$\frac{1}{2}∉[m，n]$．利用分类讨论，即可得出结论．

解答 解：（1）由题意，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}-2，0＜x＜\frac{1}{2}\\ 2-\frac{1}{x}，x≥\frac{1}{2}.\end{array}\right.$
∴f（x）在$（0，\frac{1}{2}）$上为减函数，在$（\frac{1}{2}，+∞）$上为增函数．          …（1分）
①∵0＜a＜b，且f（a）=f（b），
∴$0＜a＜\frac{1}{2}＜b$，且$\frac{1}{a}-2=2-\frac{1}{b}$，
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=4$．…（3分）
②由①知$\frac{1}{a}=4-\frac{1}{b}$，
∴$\frac{1}{a^2}+\frac{2}{b^2}={（4-\frac{1}{b}）^2}+\frac{2}{b^2}=\frac{3}{b^2}-\frac{8}{b}+16=3{（\frac{1}{b}-\frac{4}{3}）^2}+\frac{32}{3}$，
∵$0＜\frac{1}{b}＜2$，∴$\frac{1}{a^2}+\frac{2}{b^2}∈[\frac{32}{3}，16）$．…（5分）
（2）假设存在[m，n]⊆（0，+∞），当x∈[m，n]时，f（x）的值域为[m，n]，则m＞0．
∵$f（\frac{1}{2}）=0$，∴$\frac{1}{2}∉[m，n]$．…（7分）
①若$0＜m＜n＜\frac{1}{2}$，∵f（x）在$（0，\frac{1}{2}）$上为减函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{m}-2=n\\ \frac{1}{n}-2=m.\end{array}\right.$解得$m=n=\sqrt{2}-1$或$m=n=-\sqrt{2}-1$，不合题意．…（9分）
②若$\frac{1}{2}＜m＜n$，∵f（x）在$（\frac{1}{2}，+∞）$上为增函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}2-\frac{1}{m}=m\\ 2-\frac{1}{n}=n.\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}m=1\\ n=1.\end{array}\right.$不合题意．…（11分）
综上可知，不存在[m，n]⊆（0，+∞），当x∈[m，n]时，f（x）的值域为[m，n]，即f（x）不是（0，+∞）上的“保域函数”．…（12分）

点评 本题主要考查了新的定义，以及函数的值域，同时考查了等价转化的数学思想，属于中档题．