Question

【题目】已知椭圆的左焦点与抛物线 的焦点重合，椭圆的离心率为，过点作斜率不为0的直线，交椭圆于两点，点，且为定值．

（1）求椭圆的方程；

（2）求面积的最大值．

Answer 1

【答案】(1) （2）

【解析】试题分析：（1）由抛物线焦点可得c，再根据离心率可得a，即得b（2）先设直线方程x=ty+m，根据向量数量积表示，将直线方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理代入化简可得为定值的条件，解出m；根据点到直线距离得三角形的高，利用弦公式可得底，根据面积公式可得关于t的函数，最后根据基本不等式求最值

试题解析：解：（1）设F1（﹣c，0），∵抛物线y2=﹣4x的焦点坐标为（﹣1，0），且椭圆E的左焦点F与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，∴c=1，

又椭圆E的离心率为，得a=，

于是有b2=a2﹣c2=1．故椭圆Γ的标准方程为：．

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为：x=ty+m，

由整理得（t2+2）y2+2tmy+m2﹣2=0

，，

，

=

=（t2+1）y1y2+（tm﹣t）（y1+y2）+m2﹣=．

要使为定值，则，解得m=1或m=（舍）

当m=1时，|AB|=|y1﹣y2|=，

点O到直线AB的距离d=，

△OAB面积s==．

∴当t=0，△OAB面积的最大值为.