题目内容
【题目】如图(1)是一个水平放置的正三棱柱
， 
是棱
的中点．正三棱柱的正（主）视图如图(2)．
(Ⅰ)求正三棱柱
的体积；
(Ⅱ)证明： 
；
(Ⅲ)图（1）中垂直于平面
的平面有哪几个？（直接写出符合要求的平面即可，不必说明或证明）
【答案】（1）
（2）见解析（3）见解析
【解析】试题分析：(1)由图可得高为3，底面为正三角形，边长为2，根据正三棱柱的体积求体积(2) 设
，根据三角形中位线性质得
，再根据线面平行判定定理得结果（3）因为平面
的垂线为AD，所以垂面为平面
、平面
、平面
试题解析：解：(Ⅰ)依题意，在正三棱柱中， 
， 
，从而
所以正三棱柱的体积
．
(Ⅱ)连接
，设
，连接
因为
是正三棱柱的侧面，所以
是矩形， 
是
的中点
所以
是
的中位线， 
因为
， 
， 所以
．
(Ⅲ)平面
、平面
、平面
．
点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.
(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.
(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.
(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.
【题目】设圆
的圆心为
，直线
过点
且与
轴不重合， 
交圆
于
两点，过
作
的平行线交
于点
.
（1）证明
为定值，并写出点
的轨迹方程；
（2）设
，过点
作直线
，交点
的轨迹于
两点 (异于
),直线
的斜率分别为
，证明： 
为定值.
【题目】“累积净化量（
）”是空气净化器质量的一个重要衡量指标，它是指空气净化器从开始使用到净化效率为
时对颗粒物的累积净化量，以克表示.根据
《空气净化器》国家标准，对空气净化器的累计净化量（
）有如下等级划分：
累积净化量（克） |
|
|
| 12以上 |
等级 |
|
|
|
|
为了了解一批空气净化器（共2000台）的质量，随机抽取
台机器作为样本进行估计，已知这
台机器的累积净化量都分布在区间
中.按照
均匀分组，其中累积净化量在
的所有数据有： 
和
，并绘制了如下频率分布直方图：
（1）求
的值及频率分布直方图中的
值；
（2）以样本估计总体，试估计这批空气净化器（共2000台）中等级为
的空气净化器有多少台？
（3）从累积净化量在
的样本中随机抽取2台，求恰好有1台等级为
的概率.
