[题目]已知抛物线的准线与轴交于点.过点做圆的两条切线.切点为.(1)求抛物线的方程,(2)若直线是讲过定点的一条直线.且与抛物线交于两点.过定点作的垂线与抛物线交于两点.求四边形面积的最小值. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

【题目】已知抛物线的准线与轴交于点，过点做圆的两条切线，切点为.

（1）求抛物线的方程；

（2）若直线是讲过定点的一条直线，且与抛物线交于两点，过定点作的垂线与抛物线交于两点，求四边形面积的最小值.

【答案】（1）.（2）.

【解析】试题分析：（1）求得K的坐标，圆的圆心和半径，运用对称性可得MR的长，由勾股定理和锐角的三角函数，可得CK=6，再由点到直线的距离公式即可求得p=2，进而得到抛物线方程；（2）设出直线方程，运用弦长公式和四边形的面积公式，换元整理，结合基本不等式，即可求得最小值．

解析：

（1）由已知得设与轴交于点，由圆的对称性可知， .

于是，所以，所以，所以.故抛物线的方程为.

（2）设直线的方程为，设，

联立得，则.

设，同理得，

则四边形的面积

令，则

是关于的增函数，

故，当且仅当时取得最小值.

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