Question

【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

已知直线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立极坐标系，曲线的参数方程为（为参数）.

（1）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（2）设为曲线上任意一点，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）根据直线的极坐标方程，即可求得直线l的直角坐标公式，由椭圆C的参数方程即可求得曲线C的直角坐标方程；
（2）由（1）可得丨x-y-4丨=丨2cosφ-sinφ-4丨，根据辅助角公式及正弦函数的性质，即可求得|x-y-4|的最小值．

试题解析：

（1）由ρcosθ-ρsinθ=4，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入即得直线l的直角坐标方程为 ；曲线的参数方程为（为参数）所以.

（2）设，则丨x-y-4丨=丨2cosφ-sinφ-4丨=|cos（φ+α）-4丨=4-cos（φ+α）（tanα=）当cos（φ+α）=1时，|x-y-4|取最小值，最小值为4-.