Question

6．已知抛物线y²=2px（p＞0），倾斜角为$\frac{π}{4}$的直线AB过抛物线的焦点F且与抛物线交于A，B两点（|AF|＞|BF|）．过A点作抛物线的切线与抛物线的准线交于C点，直线CF交抛物线于D，E两点（|DF|＜|FE|）．直线AD，BE相交于G，则G点的横坐标为（　　）

• A． $-\frac{{\sqrt{2}p}}{4}$
• B． $-\frac{p}{2}$
• C． $-\frac{{\sqrt{3}p}}{2}$
• D． -p

Answer 1

分析 令p=2，联立方程组求出A，B，C，D，E的坐标，得出直线AD，BE的方程，求出G点坐标即可．

解答 解：不妨设p=2，抛物线方程为y²=4x，F（1，0），直线AB的方程为y=x-1，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$解得A（3+2$\sqrt{2}$，2+2$\sqrt{2}$），B（3-2$\sqrt{2}$，2-2$\sqrt{2}$），
∵直线AC是抛物线的切线，切点为A，
∴直线AC的方程为y-2-2$\sqrt{2}$=（$\sqrt{2}$-1）（x-3-2$\sqrt{2}$），即y=（$\sqrt{2}$-1）x+$\sqrt{2}$+1，
又C在抛物线的准线x=-1上，∴C（-1，2），
∴直线CF的方程为y=-x+1，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$得D（3-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$-2），E（3+2$\sqrt{2}$，-2-2$\sqrt{2}$），
∴A，E关于x轴对称，B，D关于x轴对称，
∴直线AD与直线BE关于x轴对称，
∴G为直线AD与x轴的交点，
∵k_AD=$\frac{4}{4\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴直线AD的方程为y-2-2$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-3-2$\sqrt{2}$），即y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴直线AD与x轴的交点为G（-1，0），即G点横坐标为-1．
∴G点横坐标为-$\frac{p}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查了直线与抛物线的位置关系，属于中档题．