Question

已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，bcosA+

3

bsinA-c-a=0．
（1）求B
（2）求sinAcosC的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）利用正弦定理把已知的等式化边为角，把C用π-（A+B）表示后整理求得B的值；
（2）利用三角函数的积化和差变形，代入角B的值，然后根据A-C的范围得答案．

解答： 解：（1）由bcosA+

3

bsinA-c-a=0，
得2RsinBcosA+2

3

RsinBsinA-2RsinC-2RsinA=0，
即sinBcosA+

3

sinBsinA-sin(A+B)-sinA=0．
整理得，

3

sinBsinA-sinAcosB-sinA=0．
∵sinA≠0，
∴

3

sinB-cosB=1．
即sin(B-30°)=

1

2

．
∵0°＜B＜180°，
∴-30°＜B-30°＜150°，
∴B-30°=30°，
B=60°；
（2）∵B=60°，
∴sinAcosC=

1

2

[sin(A+C)+sin(A-C)]
=

1

2

sin60°+

1

2

sin(A-C)
=

3

4

+

1

2

sin(A-C)．
由0°＜A＜120°，0°＜C＜120°，得
-120°＜A-C＜120°．
∴-1≤sin（A-C）≤1．
-

1

2

≤

1

2

sin(A-C)≤

1

2

．
∴sinAcosC的取值范围是[

3

4

-

1

2

，

3

4

+

1

2

]．

点评：本题考查了解三角形，训练了正弦定理的应用，考查了三角函数的积化和差公式，是中档题．