Question

13．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-\frac{2}{x}，（x＞\frac{1}{2}）}\\{{x}^{2}+2x+a-1，（x≤\frac{1}{2}）}\end{array}\right.$（其中a＞0，a为常数），求函数f（x）的零点．

Answer 1

分析 根据分段函数和函数零点的定义，分类讨论，即可求出函数的零点．

解答 解：①x＞$\frac{1}{2}$时，f（x）=0，即x-$\frac{2}{x}$=0，解得x=$\sqrt{2}$；
②当x≤$\frac{1}{2}$时，f（x）=x²+2ax+a-1，△=4-4（a-1）=8-4a，
当a＞2时，△＜0，f（x）=0无实根；     
当a=2时，△=0，f（x）=0，解得x=-1
∵x∈（-∞，$\frac{1}{2}$]，
∴f（x）有一个零点-1            
当0＜a＜2时，△＞0，x²+2ax+a-1=0，解得x=-1±$\sqrt{2-a}$，
∵-1-$\sqrt{2-a}$＜0＜$\frac{1}{2}$，-1+$\sqrt{2-a}$＜-1+$\sqrt{2}$＜$\frac{1}{2}$，
∴-1±$\sqrt{2-a}$都是f（x）的零点．                                
综上所述，当a＞2时，f（x）的零点为：$\sqrt{2}$；
当a=2时，f（x）的零点为：$\sqrt{2}$和-1，
当0＜a＜2时，f（x）的零点为：$\sqrt{2}$和-1+$\sqrt{2-a}$，-1-$\sqrt{2-a}$

点评 本题考查了分段函数的零点，关键是分类讨论，属于中档题